Все статьи » ЗФТШ Математика

Статьи

  • §6. Построение графиков функций

    В школьном курсе 7-го класса вы уже рассматривали график линейной функции y=kx+by=kx+b, графики функций y=x2y=x^2 и y=x3y=x^3. В этом году вы познакомились с еще одной функцией, а именно, с функцией y=xy=\sqrt{x}. Составим таблицу значений этой функци...

  • §4. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни

    Покажем на примере, как можно тождественными преобразованиями упрощать выражения, содержащие квадратные корни. При этом мы будем пользоваться правилами, которые указали в предыдущем параграфе, как, например, правило произведения корней, правило деления...

  • §2. Уравнение $$x^2=a$$

    Если a<0a<0, то уравнение x2=ax^2=a не имеет решений. Если a=0a=0, то уравнение имеет единственное решение x=0x=0. Рассмотрим теперь уравнение x2=ax^2=a при a>0a>0.  Рассмотрим графики функций y=x2 y=x^2 \: и y=ay=a (рис. 1)....

  • §1. Определение арифметического квадратного корня

    Рассмотрим простейшую задачу. Пусть площадь квадрата равна 25. Требуется определить сторону квадрата. Если сторона квадрата равна xx, то для нахождения длин сторон квадрата получаем уравнение x2=25x^2=25. Этому уравнению удовлетворяют два числа: 5 и -5...

  • 4. Симметрические системы

    Многочлен с двумя переменными `F(x,y)` называется симметрическим, если `F(x,y)=F(y,x)`. Иными словами, многочлен является симметрическим, если он не изменяется, когда переменные `x` и `y` меняются местами. Например, многочлены `x^3+y^3`; `xy-590`; `2x^...

  • 3. Системы, сводящиеся к решению однородного уравнения

    Уравнения вида `P(x,y)=0`, где `P(x,y)` - многочлен с двумя переменными `x` и `y`, называются однородными относительно `x` и `y`, степени `k`, если в каждом из членов сумма степеней `x` и `y`, одинакова и равна `k`. Например, уравнение `x^2-3xy-7y^2=0`...

  • 2. Нелинейные системы уравнений

    В отличие от систем линейных уравнений общих методов решения нет. Системы, в которых одно из уравнений линейное, а второе нелинейное, как правило, решаются следующим образом. Из линейного уравнения одна из переменных выражается через другую и подставля...

  • 1. Системы линейных уравнений

    Их вы подробно изучали в 7 классе и они не вызывают существенных сложностей, так как всегда могут быть решены, например, подстановкой. Остановимся немного подробнее на геометрической интерпретации. Пусть дана система  a1x+b1y=c1,a2x+b2y=c2.\left\...

  • §1. Иррациональные уравнения

    Уравнение называют иррациональным, если оно содержит переменное выражение под знаком корня. Напомним, что квадратный корень из `f(x)`, т. е.  `sqrt(f(x))`, определён лишь для тех значений `x`, для которых `f(x)>=0`...

  • §8. Неравенства вида $$a(x)^{f(x)} \gt a(x)^{g(x)}$$

    Рассмотрим неравенство a(x)f(x)>a(x)g(x)a(x)^{f(x)}>a(x)^{g(x)}, где a(x),f(x),g(x)a(x), f(x), g(x) - непрерывные функции. ОДЗ: a(x)>0a(x)>0. Воспользуемся определением сложной экспоненты, взяв в качестве cc число ee (можно взять любое допу...

  • §7. Показательные неравенства

    Рассмотрим неравенство af(x)>ag(x)a^{f(x)}>a^{g(x)}. Пусть f(x)f(x) и g(x)g(x) - непрерывные функции на некотором промежутке XX, где задано число a>0a>0. Тогда af(x)a^{f(x)}, ag(x)a^{g(x)} - тоже непрерывны на XX и к неравенству af(x)>a...

  • §5. Экстремум функции. Монотонные функции Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

    Определение Пусть функция `y=f(x)` определена на некотором интервале, содержащем точку `ainR`. Точка `a` называется точкой локального максимума функции `f`, если существует `epsilon` - окрестность точки `a` что для любого `x!=a` из этой окрестност...

  • §6. Логарифмы с переменным основанием. Уравнения вида $$\textrm{log}_{a(x)}{f(x)} = \textrm{log}_{a(x)}{g(x)}$$

    Рассмотрим выражение y(x)=logaxf(x)y(x) = \textrm{log}_a{x}{f(x)}. По определению, для любого c>0c>0, c≠1   c \neq 1 \:\:\: loga(x)=logcf(x)logca(x)\fbox{ \textrm{log}_{a(x)} = \dfrac{\textrm{log}_c{f(x)}}{\text...

  • §5. Сложная экспонента. Уравнение вида $$a(x)^{f(x)} = a(x)^{g(x)} $$

    Рассмотрим выражение y(x)=a(x)f(x)y(x)=a(x)^{f(x)}. Что это за функция, какова ее область определения? По определению, полагают, для любого c>0c>0, c≠1c\neq 1, a(x)>0     a(x)>0 \:\:\:\:\: a(x)b(x...

  • §4. Производная функции

    Определение Пусть функция `y=f(x)` определена на некотором интервале `(c;d)`, содержащем точку `ainR`. Функция `y=f(x)` называется дифференцируемой в точке , если существует конечный `lim_(x->a)(f(x)-f(a))/(x-a)`. Этот предел называется произ...

  • §4. Логарифмические уравнения

    Логарифмические уравнения считаются сложными. Во-первых, потому, что у логарифма есть область определения. Во-вторых, подлогарифмические выражения могут быть любыми функциями, и надо помнить, что последующие преобразования могут быть неравносильными(на...

  • §3. Понятие о пределе функции. Непрерывность функции

    Пусть функция `y=f(x)` определена на некотором интервале, содержащем точку `ain R`, за исключением, быть может, самой точки `a`. Определение Число `A` называется пределом функции `y=f(x)` в точке `a`, если для любой последовательности `(x_n)` из ...

  • §2. Предел последовательности

    При увеличении `n` члены последовательности `x_n=1//n` становятся сколь угодно малыми, неограниченно приближаются (стремятся) к нулю. Логично считать, что ноль - предел последовательности `x_n`. Однако такого интуитивного понимания в более сложной ситу...

  • §1. Бесконечные числовые последовательности

    Определение. Бесконечной числовой последовательностью (или просто последовательностью) называется числовая функция `x=x(n)`, определённая на множестве `N` натуральных чисел.  Аргумент `n` этой функции записывается в виде индекса, т. е. в...

  • §4. Некоторые нестандартные примеры и задачи с параметром

    Пример 24 Решить уравнение `3sin^5x+4cos^3x=7`. Решение Так как  `3sin^5x<=3`                                (8) и  `4cos^3x<=4`,    ...